본문 바로가기
HOME> 논문 > 논문 검색상세

학위논문 상세정보

해석적 조화적 함수의 부분족에 대한 연구 원문보기
A study on subclasses of analytic and harmonic functions

  • 저자

    심영재

  • 학위수여기관

    경성대학교 일반대학원

  • 학위구분

    국내박사

  • 학과

    수학과 Complex Analysis

  • 지도교수

    권오상

  • 발행년도

    2014

  • 총페이지

    81

  • 키워드

    analytic function harmonic function;

  • 언어

    kor

  • 원문 URL

    http://www.riss.kr/link?id=T13535305&outLink=K  

  • 초록

    기하함수 이론은 해석적인 복소함수들의 기하학적인 성질을 다루는 학문이다. 또한, 단엽함수이론은 기하함수이론의 한 분야이다. 단엽함수는 정의역 상에서 일대일 대응관계를 가지는 함수를 의미하는데, 해석적 단엽함수는 등각사상이라고 부른다. 족 $S$를 정규화된 해석적 단엽함수들의 족이라고 하자. 즉, $S$에 속하는 함수 $f$는 $f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}z^{n}$으로 표현된다. 1916년, Bieberbach에 의해 $S$에 속하는 함수 $f$에 대하여 $|a_{n}|\leq n \ (n=2,3,4,\cdots)$ 이 성립함이 추측되었고, 이것을 해결하기 위하여 수년에 걸쳐 많은 학자들이 도전하였다. 이 과정에서 많은 학자들이 단엽함수가 되기 위한 충분조건을 제시하고, 그 부분족인 성형함수, 볼록함수 그리고 근사볼록함수 등이 소개되고 연구되었다. 이 추측은 1984년 Louis de Branges에 의해 해결되었고, 그 이후, 종속이론, 연산자 이론, 근방이론 등 다양한 방법에 의해 해석적인 단엽함수들의 성질에 의해 조사되고 있다. 조화 함수는 실수부 함수와 허수부 함수가 각각 조화적인 함수를 의미하며, 정의역 상에서 일대일 대응 관계를 갖는 조화 함수는 조화 단엽함수라고 한다. 등각 사상과 비슷하게 생각되는 조화 단엽함수는 등각 사상과 다르게, Riemann 사상 정리가 성립하지 않는다. Clunie와 Sheil-Small 그리고 Hengatner와 Schober는 조화 함수에 관련된 적절한 Riemann 사상 정리를 연구하였고, 이후, 해석적 단엽함수에 관한 이론과 비슷하게 기하학적인 성질을 가진 많은 조화 함수 족에 관하여 소개되고 연구되었다. 본 논문에서는 해석적 단엽 성형함수, 볼록함수에 관한 족들에 대하여 소개하고, 이 족들에 속하는 함수들의 여러 가지 성질과 일반화된 Salagean 연산자에 관한 조화적 다엽함수들의 성질에 대하여 연구하고자 한다. 제2장에서는 해석적 단엽함수들로 이루어진 족을 소개하고, 기하학적 성질을 이용하여 부분 족을 소개하였다. 또한, 조화적 다엽함수들로 이루어진 족과, 그들의 부분 족을 소개하고, 그들의 성질에 대하여 소개하였다. 제3장에서는 원뿔 영역과 관련된 해석적 성형함수와 볼록함수들로 이루어진 족들 $k-SP(\alpha,\beta)$와 $k-UCV(\alpha,\beta)$에 대한 성질에 대하여 조사하였다. 특히, 이들 족에 대한 최대 함수를 찾고, 이를 이용하여 Fekete-Szegö 문제를 해결하였다. 또한, 이들 족에 대한 여러 가지 함수들의 성질에 대하여 조사하였다. 제4장에서는, 정규 해석 함수에 대한 부분 족 $S^{*}(\alpha,\beta)$를 소개하고, 이들 족의 원소가 되기 위한 충분조건을 조사하였다. 또한, 정규 해석 함수의 다른 족들과 관련된 반경 문제에 대하여 조사하였다. 마지막으로 제5장에서는 조화적 다엽함수에 대하여 일반화된 Salagean 연산자를 적용한 새로운 부분 족에 대하여 소개하였다. 이 장에서는 계수 문제, 최대원소 문제, 뒤틀림 문제와 근방 문제 등 이 족에 속하는 함수들의 여러 가지 성질에 대하여 조사하였다. 또한, 조화적 다엽함수로 이루어진 다른 기하학적인 성질을 가진 족들과의 관계에 대하여 조사하였다.


 활용도 분석

  • 상세보기

    amChart 영역
  • 원문보기

    amChart 영역