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### Combinatorics, probability & computing : CPC10건

1. BHAMIDI, SHANKAR , VAN DER HOFSTAD, REMCO
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 797 - 825 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

We consider the complete graph 𝜅n on n vertices with exponential mean n edge lengths. Writing Cij for the weight of the smallest-weight path between vertices i, j ∈ [ n ], Janson [18] showed that max i,j ∈[ n ] C ij /log n converges in probability to 3. We extend these results by showing that max i,j ∈[ n ] Cij − 3 log n converges in distribution to some limiting random variable that can be identified via a maximization procedure on a limiting infinite random structure. Interestingly, this limiting random variable has also appeared as the weak limit of the re-centred graph diameter of the barely supercritical Erdős-REnyi random graph in [22].

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2. DAVIDSON, A. , GANESH, A.
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 826 - 838 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

Consider the complete graph on n vertices, with edge weights drawn independently from the exponential distribution with unit mean. Janson showed that the typical distance between two vertices scales as log n/n , whereas the diameter (maximum distance between any two vertices) scales as 3 log n/n . BollobAs, Gamarnik, Riordan and Sudakov showed that, for any fixed k , the weight of the Steiner tree connecting k typical vertices scales as ( k − 1)log n/n , which recovers Janson's result for k = 2. We extend this to show that the worst case k -Steiner tree, over all choices of k vertices, has weight scaling as (2 k − 1)log n/n and finally, we generalize this result to Steiner trees with a mixture of typical and worst case vertices.

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3. [해외논문]   Packing Loose Hamilton Cycles   SCIE

FERBER, ASAF , LUH, KYLE , MONTEALEGRE, DANIEL , NGUYEN, OANH
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 839 - 849 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

A subset C of edges in a k -uniform hypergraph H is a loose Hamilton cycle if C covers all the vertices of H and there exists a cyclic ordering of these vertices such that the edges in C are segments of that order and such that every two consecutive edges share exactly one vertex. The binomial random k -uniform hypergraph H k n,p has vertex set [ n ] and an edge set E obtained by adding each k -tuple e ∈ ($\binom{[n]}{k}$) to E with probability p , independently at random. Here we consider the problem of finding edge-disjoint loose Hamilton cycles covering all but o (| E |) edges, referred to as the packing problem . While it is known that the threshold probability of the appearance of a loose Hamilton cycle in H k n,p is $p=\Theta\biggl(\frac{\log n}{n^{k-1}}\biggr),$ the best known bounds for the packing problem are around p = polylog( n )/ n . Here we make substantial progress and prove the following asymptotically (up to a polylog( n ) factor) best possible result: for p ≥ log C n / n k −1 , a random k -uniform hypergraph H k n,p with high probability contains $N:=(1-o(1))\frac{\binom{n}{k}p}{n/(k-1)}$ edge-disjoint loose Hamilton cycles. Our proof utilizes and modifies the idea of 'online sprinkling' recently introduced by Vu and the first author.

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4. GIRÃ , O, ANTÓ , NIO , KITTIPASSORN, TEERADEJ , POPIELARZ, KAMIL
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 850 - 855 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

We almost completely solve a number of problems related to a concept called majority colouring recently studied by Kreutzer, Oum, Seymour, van der Zypen and Wood. They raised the problem of determining, for a natural number k , the smallest number m = m ( k ) such that every digraph can be coloured with m colours where each vertex has the same colour as at most a 1/ k proportion of its out-neighbours. We show that m ( k ) ∈ {2 k − 1,2 k }. We also prove a result supporting the conjecture that m (2) = 3. Moreover, we prove similar results for a more general concept called majority choosability.

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5. HAN, JIE , LO, ALLAN , TREGLOWN, ANDREW , ZHAO, YI
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 856 - 885 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

Given hypergraphs F and H , an F -factor in H is a set of vertex-disjoint copies of F which cover all the vertices in H . Let K − 4 denote the 3-uniform hypergraph with four vertices and three edges. We show that for sufficiently large n ∈ 4ℕ, every 3-uniform hypergraph H on n vertices with minimum codegree at least n /2−1 contains a K − 4-factor. Our bound on the minimum codegree here is best possible. It resolves a conjecture of Lo and MarkstrOm [15] for large hypergraphs, who earlier proved an asymptotically exact version of this result. Our proof makes use of the absorbing method as well as a result of Keevash and Mycroft [11] concerning almost perfect matchings in hypergraphs.

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6. KEEVASH, PETER , LOCHET, WILLIAM
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 886 - 910 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

The ( a , b )-eye is the graph I a,b = < K a+b \ K b obtained by deleting the edges of a clique of size b from a clique of size a+b . We show that for any a,b ≥ 2 and p ∈ (0,1), if we condition the random graph G ~ G ( n,p ) on having no induced copy of I a,b , then with high probability G is close to an a -partite graph or the complement of a ( b −1)-partite graph. Our proof uses the recently developed theory of hypergraph containers, and a stability result for an extremal problem with two weighted colours. We also apply the stability method to obtain an exact TurAn-type result for this extremal problem.

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7. MONTGOMERY, RICHARD
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 911 - 943 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

We give a minimum degree condition sufficient to ensure the existence of a fractional Kr -decomposition in a balanced r -partite graph (subject to some further simple necessary conditions). This generalizes the non-partite problem studied recently by Barber, Lo, KUhn, Osthus and the author, and the 3-partite fractional K 3-decomposition problem studied recently by Bowditch and Dukes. Combining our result with recent work by Barber, KUhn, Lo, Osthus and Taylor, this gives a minimum degree condition sufficient to ensure the existence of a (non-fractional) Kr -decomposition in a balanced r -partite graph (subject to the same simple necessary conditions).

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8. [해외논문]   Corners Over Quasirandom Groups   SCIE

ZORIN-KRANICH, PAVEL
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 944 - 951 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

Let G be a finite D -quasirandom group and A ⊂ G k a δ-dense subset. Then the density of the set of side lengths g of corners $$\{(a_{1},\dotsc,a_{k}),(ga_{1},a_{2},\dotsc,a_{k}),\dotsc,(ga_{1},\dotsc,ga_{k})\} \subset A$$ converges to 1 as D → ∞.

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9. BUKH, BORIS , JIANG, ZILIN
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 952 - 953 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

Due to a calculation error, the constant in the main theorem is not $80 \sqrt{k\log k}$ but $80\sqrt{k} \log k$. The error was discovered by Xizhi Liu. For a new discussion on the limit of the method used in this paper see the revised arXiv version of the paper.

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10. SHALEV, ANER
Combinatorics, probability & computing : CPC v.26 no.6 ,pp. 954 - 955 , 2017 , 0963-5483 ,

초록

In my paper [1], a normalization factor of | G | −1 was missing in the statements of Theorem 2.4, Theorem 2.6 and Corollary 2.7.

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